複素積分を用いて，以下を示します．. = \int^{\pi}_{0} i R e^{i\theta} \frac{e^{iR e^{i\theta}}}{R e^{i\theta}} \ d \theta 2乗及び3乗の場合と同様に、$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^4 x}{x^4}dx$は部分積分を用いて(\ref{eq:sincfourthpowerfirst})式のようにひとまず変形します。, そこで、区間$\left[-2\pi,2\pi\right]$における$f(x) = \displaystyle\frac{\sin^n x}{x^n}, (n = 2,3,4)$のグラフをInkscapeで書いてみました。, 上記グラフ中、赤色の実線が$f(x) = \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}$、青色の点線が$f(x) = \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3}$、緑色の一点鎖線が$f(x) = \displaystyle\frac{\sin^4 x}{x^4}$のグラフです。, この記事で書いた2,3,4乗の計算及び途中経過については正しくない部分があるかもしれませんので、別途計算などを行った際の結果の確認用などに利用していただけると幸いです。♂️. 0000001708 00000 n
0000016648 00000 n
0000026495 00000 n
sinc関数の\(n\)乗広義積分 \(n\in\mathbb{N}\)とする。 \[ \int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)! 0000025123 00000 n
gcse.type = 'text/javascript'; 0000016795 00000 n
はsinc(シンク)関数と呼ばれているらしい． 解法の手順. Kuma & =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\sin^{n}xe^{-(a_{1}+a_{2}+\cdots\cdots+a_{n})x}da_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}dx\\ 0000037397 00000 n
C_4 &:& z=r e^{i \theta} \ (\pi→0) We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. sinc関数の広義積分 複素積分編 . の原始関数を とすると，定積分は以下のように表記できる． 月別アーカイブ. 0000026018 00000 n
0000040367 00000 n
= 0, \therefore \ \int_0^{\infty} \frac{e^{ix} - e^{- ix}}{x} \ dx C_3 &:& 実軸上 -R→-r\\ 0000027024 00000 n
上において より. \underbrace{=}_{偶関数より} i \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin x}{x} \ dx 0000040389 00000 n
0000041628 00000 n
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細かく言うと， たちは以下のように定義しています． 経路の向きは の増加方向です． (1)の右辺. var cx = 'partner-pub-7000200295725746:6924903527'; 証明 と置く． これを で微分すると， ここで， より， また，全てのについて， なので， ここで の極限をとると， よって }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\left\{ \log\left(-i\sgn(n-2k)\right)-\log\left(i\sgn(n-2k)\right)\right\} \\ それを使ってsinc関数の積分を複素積分を使わないで計算できないかと思い、部分積分を使って計算してみたところ、4乗あたりまでなら何とか計算できそうなので、メモすることにしました。 ディリクレ積分 ∫sinx/x dx を複素積分で解く。積分経路は与えられたものを使う。この問題の場合は留数定理を使わずに複素積分が実行できるが、収束性を2回調べないといけない。よくある問題なので解けるようにしておきたい。 & =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(2i)^{n}}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{n-k}\frac{1}{A-i(2k-n)}da_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}\\ ちょっと前の記事でディリクレ積分の計算を行いました。. 54 0 obj
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上の積分も同様に. & =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(2i)^{n}}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{n-k}e^{-(A-i(2k-n))x}dxda_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}\\ \int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx=\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)! See our Privacy Policy and User Agreement for details. 0000001763 00000 n
0000015666 00000 n
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\oint_{C_1 +C_2 +C_3 +C_4} f(z) \ dz }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k) You can change your ad preferences anytime. Scribd will begin operating the SlideShare business on December 1, 2020 0000017408 00000 n
\left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} 1 Sinc関数の広義積分について 日曜数学者 Kuma 日曜数学会 vol.4 2016年1月30日 0 sin( ) n n x I dx x 2. 0000016816 00000 n
0000039770 00000 n
ここで. 0000035757 00000 n
0000003774 00000 n
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0000038528 00000 n
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部分積分により 部分の次数を下げて が使える状態に誘導する． 計算. 0000038865 00000 n
2020年9月18日, \[ x 0000026701 00000 n
& =\frac{(-1)^{n}}{(2i)^{n}}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{n-k}\frac{\left(-i(2k-n)\right)^{n-1}}{(n-1)! Learn more. 0000017429 00000 n
0000036260 00000 n
【展開用】日曜数学会 Sinc関数の積分について 1. 日曜数学者 \end{array} \right. \delta_{mn}=\sum_{k=0}^{n}\frac{(-1)^{k+m}}{(m-k)!(k-n)!} 0000003068 00000 n
0000029694 00000 n
きっかけ ～2つの疑問～ 3.取り組み 3.1 第1の疑問～Fourier変換の妙～ 3.2 第2の疑問 1. I dx var s = document.getElementsByTagName('script')[0]; 0000038972 00000 n
= \int_{C_1} f(x) \ dx +\int_{C_2} f(z) \ dz + \int_{C_3} f(x) \ dx + \int_{C_4} f(z) \ dz, C_2上においてz=Re^{i\theta}よりdz=iRe^{i\theta} d\theta, \int_{C_2} f(z) \ dz 複素数平面状で経路積分を行うことによりsinc関数の の積分. 0000028136 00000 n
If you wish to opt out, please close your SlideShare account. & =\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}i(n-1)! 0000041549 00000 n
0000028861 00000 n
0000036898 00000 n
Looks like you’ve clipped this slide to already. = - \pi, \therefore \ \int_0^{\infty} \frac{e^{ix}}{x} \ dx + \int_{- \infty}^0 \frac{e^{ix}}{x} \ dx- i\pi 解法手順を以下にざっとまとめておく． 読み進める途中にわからなくなったら確認してほしい． 解法 積分の基本定理. Sinc関数の広義積分について & =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)^{n}}{(2i)^{n}}e^{-Ax}dxda_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}\\ 記事：sinc関数の積分の解法 結果： sinc関数の2乗の積分. \underbrace { \left| e^{iR \cos \theta} \right| }_{=1} \left|e^{-R\sin \theta} \right| d \theta 0000038184 00000 n
\], \begin{align*} trailer
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はじめに. sinc関数の広義積分. 0000030000 00000 n
0 (function() { If you continue browsing the site, you agree to the use of cookies on this website. 0000016036 00000 n
\]. 0000018863 00000 n
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If you continue browsing the site, you agree to the use of cookies on this website. \], \[ 1/30 日曜数学会vlo.4 の発表資料です。
sinc関数の広義積分についての考察。
（先駆者、先行研究あり。）. }がn→∞のときに∞に発散することの証明。, Legendre多項式の直交性を最高次の項の係数だけを計算することにより証明してみた。, Living Interior for Information Technology, 「サフィール踊り子」の4人用個室を2名で利用してみたところ、予想以上にluxuryだった件(前編:予約～乗車するまで)。, 本Webサイトの記事を記事ごとにBag-of-Wordsモデルを使ってベクトル化してみた。, GitHub Pagesの各ページに最終更新日を入れようと思ったので、Emacsにそのための設定を追加してみた。, HTML5のCustom Elementsを使って再利用できるリンク集の出力用のタグを作ってみた。. 複素数平面状で経路積分を行うことによりsinc関数の[-\infty, \infty]の積分, \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \ dx= \pi. 第2 s.parentNode.insertBefore(gcse, s); 0000037376 00000 n
2016年1月30日 0000041356 00000 n
0000040909 00000 n
0000051068 00000 n
= \pi, 複素関数を用いることで、ある値に積分が収束することを示しました。この積分は特にディリクレ積分という名前がついており、有名です。. 0000035426 00000 n
B(x,y)=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^{k}\frac{C(y-1,k)}{x+k} 0000038994 00000 n
& =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{(2i)^{n}}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{n-k}e^{ikx}e^{-i(n-k)x}e^{-Ax}dxda_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}\\ n n 0000016505 00000 n
0000002817 00000 n
はてなブログをはじめよう！ tikuwakonbuさんは、はてなブログを使っています。あなたもはてなブログをはじめてみませんか？ はてなブログをはじめる（無料） はてなブログとは. sinc関数の積分. & =\frac{\pi}{2^{n+1}(n-1)! 0000030931 00000 n
\end{align*}, \[ x 0000028981 00000 n
Slideshare uses cookies to improve functionality and performance, and to provide you with relevant advertising. = \int_\pi^0 d \theta = 0, \lim_{R \rightarrow \infty} \left| \int_0^\pi e^{iR \cos \theta} e^{-R\sin \theta} \ d \theta \right| & =\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}i(n-1)! }\sum_{k=0}^{n}\left(C(n,k)(-1)^{k}(2k-n)^{n-1}\log(-i(2k-n))+C(n,k)(-1)^{n-k}(n-2k)^{n-1}\log(-i(n-2k))\right)\qquad,\qquad k\rightarrow n-k\\ 0000027294 00000 n
As of this date, Scribd will manage your SlideShare account and any content you may have on SlideShare, and Scribd's General Terms of Use and Privacy Policy will apply. それを使ってsinc関数の積分を複素積分を使わないで計算できないかと思い、部分積分を使って計算してみたところ、4乗あたりまでなら何とか計算できそうなので、メモすることにしました。, なお、この記事では「sinc関数」は(\ref{eq:sincdef})式で表される関数$f(x)$のことを指すものとします。, $[0,\infty )$の広義積分を計算しますが、sinc関数の2,3,4乗はいずれも偶関数となりますので、積分区間を$(-\infty , \infty)$としたときの計算結果は積分区間を$[0,\infty )$としたときの2倍になります。, $\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^2 x}{x^2}dx$は部分積分を用いて以下のように変形及び計算できます。, 2乗の場合と同様に、$\displaystyle\int_{0}^{\infty} \displaystyle\frac{\sin^3 x}{x^3}dx$は部分積分を用いて以下のように変形及び計算できます。, [2020/06/12補足] 途中の式変形に誤りがあったので、修正しました。 0000028575 00000 n
0000018038 00000 n
0000030611 00000 n
B(x,y)=\frac{C(y-1,-x)\pi}{\sin(\pi x)} See our User Agreement and Privacy Policy. }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\left(-\frac{\pi}{2}i-\frac{\pi}{2}i\right)\sgn(n-2k)\\ 第12 章 実関数の定積分 複素関数の積分を実関数の定積分に利用することができる。実関数f(x) の値は，複素関数f(z) のz= x+ i0 の場合の値とみなせる。 そこで，f(z) が複素平面で定義された関数であると考 えて，適当な閉曲線Cを選んで，留数定理を応用して実関数の定積分の値を求める。 0000004244 00000 n
= i \int^{0}_{\pi} e^{ir \cos \theta} e^{-r \sin \theta} \ d\theta, \therefore \ \int_{r}^{R} \frac{e^{ix}}{x} \ dx + \int_{-R}^{-r} \frac{e^{ix}}{x} \ dx + i \left( \int_{0}^\pi e^{iR\cos \theta} e^{-R \sin \theta} \ d\theta+ \int_\pi^0 e^{ir \cos \theta} e^{-r \sin \theta} \ d\theta \right) . & =\frac{-1}{2^{n+1}i(n-1)! & =\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\cdots\cdots\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\sin^{n}xe^{-Ax}dxda_{1}da_{2}\cdots\cdots da_{n}\qquad,\qquad A=\sum_{k=0}^{n}a_{n}\\ \ \Longrightarrow \int_{-\infty}^\infty \frac{\sin x}{x} \ dx 0000004831 00000 n
日曜数学会 vol.4 \le \lim_{R \rightarrow \infty} \int_0^\pi Now customize the name of a clipboard to store your clips. gcse.async = true; gcse.src = 'https://cse.google.com/cse.js?cx=' + cx; 1 0000022391 00000 n
0000036239 00000 n
Agenda 2 1. 0000048033 00000 n
}\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(2k-n)^{n-1}\log(-i(2k-n))\\ = 0, \lim_{r \rightarrow 0} \int_\pi^0 e^{ir \cos \theta} e^{-r \sin \theta} \ d \theta 0000036877 00000 n
No public clipboards found for this slide. = i \int^{\pi}_{0} e^{iR \cos \theta} e^{-R \sin \theta} \ d\theta, \int_{C_4} f(z) \ dz 0000005932 00000 n
= 2i \int_0^{\infty} \frac{\sin x}{x} \ dx 0000005310 00000 n
\], \[ 0000002606 00000 n
var gcse = document.createElement('script'); sin( ) 0000038749 00000 n
課題： を考える． 条件： は既知として使用して良いことにする． 解法. 導入. 0000002584 00000 n
& =\frac{(-1)^{n+1}}{2^{n}i(n-1)! 自己紹介 2. 0000039748 00000 n
& =\frac{-1}{2^{n+1}i(n-1)! ちくわこんぶの数学メモ. C_1 &:& 実軸上 r→R\\ \int_{0}^{\infty}sinc^{n}(x)dx & =\int_{0}^{\infty}\frac{\sin^{n}x}{x^{n}}dx\\ & =\frac{-1}{2^{n+1}i(n-1)! Clipping is a handy way to collect important slides you want to go back to later. }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(2k-n)^{n-1}\left\{ \log(-i(2k-n))-H_{n-1}\right\} \\ は閉曲線の内部で常に正則なので、コーシーの積分定理より. を求めましょう。 複素積分. 次の複素積分を考えましょう． コース は以下の図の の和です．. Slideshare uses cookies to improve functionality and performance, and to provide you with relevant advertising. \], \[ 0000041159 00000 n
= \int^{0}_{\pi} i r e^{i\theta} \frac{e^{ir e^{i\theta}}}{r e^{i\theta}} \ d \theta })(); ディリクレ積分をフーリエ変換を使って計算しようとしたらいろいろと出てきたので、まとめてメモ。, \sqrt[n]{n!}及び\sqrt[n]{n!! }\left\{ \log(-i(2k-n))-H_{n-1}\right\} \\ = i\pi を以下のような閉曲線上で積分することを考えます。 Figure: sinc.png. 0000006264 00000 n
\left\{ \begin{array}{lll} }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\sgn(n-2k) 複素関数の基礎のキソ （13講＋補講2） 川平 友規 東京工業大学大学院理工学研究科数学専攻 Email: kawahiraAmath.titech.ac.jp (A=@) H�b```f``{�����i� �� @1v�/0��al�L%��YX{���$�v�ڼ����k�ª-�S$M. sinc関数の広義積分について 積分区間が[0→+∞] ∫sin(x)/x＊dx の積分が存在することを示しなさい。 この問題の解き方を教えて下さい。 フーリエ解析や複素数は使わない方針でお願いいたします。 C_2 &:& z=R e^{i \theta} \ (\theta は偏角、0→\pi)\\ }\sum_{k=0}^{n}C(n,k)(-1)^{k}(n-2k)^{n-1}\left\{ \log\left(-i(n-2k)\right)-\log\left(-i(2k-n)\right)\right\} \\